Discussion:
Senkrechter Wurf + Gravitation / Raumsonde
(zu alt für eine Antwort)
Jessica Peters
2007-05-20 12:21:36 UTC
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Hallo!

Ich arbeite gerade mein Physikmaterial (LK) aus der Schulzeit[*] durch
und bin dabei auf zwei Probleme gestoßen. Google, Metzler, Gehrtsen und
diverse Formelsammlungen konnten mir nicht dabei weiterhelfen, darum
hoffe ich, hier Hilfe zu finden.


1. Aufgabe: Auf dem Mond wird ein Gegenstand mit der
Anfangsgeschwindigkeit v0=1 km/s senkrecht hochgeworfen. Die
Fallbeschleunigung beträgt direkt auf der Mondoberfläche (aus einer
Teilaufgabe davor berechnet) g=1,37 m/s^2. Wie hoch fliegt der
Gegenstand?

Meine Lösung in der Arbeit war 354km, jedoch gilt das nur, wenn g
konstant bleibt.

Nun habe ich versucht, die Aufgabe mit der Bedingung, dass g nicht
konstant bleibt, zu rechnen. Die Formel, die ich rausbekommen habe, ist

s = 0.5 * v0^2/(f*m)*(s+1738000)^2, wobei

s die Steighöhe gemessen von der Mondoberfläche,
v0 die Anfangsgeschwindigkeit,
f die Gravitationskonstante f = 6,672*10^(-11),
m die Masse des Mondes, m=6,21*10^22 (ebenfalls aus einer Teilaufgabe
vorher berechnet)

bedeuten soll.

Nun erhalte ich aus dieser quadratischen Gleichung zwei Lösungen, s1=
725 km und s2=4068 km (Taschenrechnerrundungen).

Was mich dabei wundert, ist, dass der Gegenstand nach s1 immerhin
doppelt so hoch geworfen wird, wenn ich mit nichtkonstantem g rechne als
wenn ich g als konstant annehme. Zudem hatte ich auf dem Aufgabenblatt
bei der Besprechung den Wert 448,5km notiert, möglicherweise die
richtige Lösung, die aber wiederum erheblich von beiden Lösungen dieser
quadratischen Gleichung abweicht. Daher wäre ich über eine Überprüfung
dieses Ergebnisses sehr dankbar.
Außerdem bin ich auch erstaunt darüber, dass es zwei Lösungen gibt,
wobei ich die Lösung s2 nicht interpretieren kann. Könnt ihr mir da
weiterhelfen?


2. Aufgabe:
Eine Raumsonde umläuft die Erde auf einer Kreisbahn. Ihr Abstand von der
Erdoberfläche beträgt bei h1=429 km. Angenommen, die Geschwindigkeit
soll so reduziert werden, dass die Sonde im Perigäum die Erdoberfläche
gerade berührt (wenn die Atmosphäre nicht vorhanden wäre)
a) Auf welchen Wert müsste die Geschwindigkeit abgesenkt werden?
b) Welche Geschwindigkeit hätte die Sonde bei Auftreffen der Erde, wenn
sie nicht durch die Atmosphäre abgebremst worden wäre?

Hier hab ich ein generelles Ansatzproblem. Da die Geschwindigkeit
reduziert wird, befinde ich mich zum Zeitpunkt des Abbremsens im
Apogäum. Gesucht ist in Teil a) eine Ellipse mit der großen
Bahnhalbachse a = (Abstand[Abbremspunkt;
Erdoberfläche]+Erddurchmesser)/2. In b) ist nach der Geschwindigkeit im
Perigäum dieser Ellipse gefragt, oder?
Das Problem hierbei ist, dass ich zwar Formeln gefunden habe, aber
herausbekam, dass die Sonde auf 7,9 km/s beschleunigt werden müsste.

Wäre schön, wenn ihr mir einen Ansatz geben könntet, wie ich auf die
Formel für a) kommen könnte, b) wäre dann quasi trivial. ;-)

Danke im Voraus!

Jessica



[*] Habe inzwischen Mathe auf Lehramt studiert, das Auffrischen meiner
Physikkenntnisse geschieht im Hinblick auf eine schulische Veranstaltung
in den Sommerferien, bei der ich nicht nur von Mathe Ahnung haben
möchte.
roland franzius
2007-05-20 13:09:12 UTC
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Post by Jessica Peters
Hallo!
Ich arbeite gerade mein Physikmaterial (LK) aus der Schulzeit[*] durch
und bin dabei auf zwei Probleme gestoßen. Google, Metzler, Gehrtsen und
diverse Formelsammlungen konnten mir nicht dabei weiterhelfen, darum
hoffe ich, hier Hilfe zu finden.
1. Aufgabe: Auf dem Mond wird ein Gegenstand mit der
Anfangsgeschwindigkeit v0=1 km/s senkrecht hochgeworfen. Die
Fallbeschleunigung beträgt direkt auf der Mondoberfläche (aus einer
Teilaufgabe davor berechnet) g=1,37 m/s^2. Wie hoch fliegt der Gegenstand?
Meine Lösung in der Arbeit war 354km, jedoch gilt das nur, wenn g
konstant bleibt.
Nun habe ich versucht, die Aufgabe mit der Bedingung, dass g nicht
konstant bleibt, zu rechnen. Die Formel, die ich rausbekommen habe, ist
s = 0.5 * v0^2/(f*m)*(s+1738000)^2, wobei
s die Steighöhe gemessen von der Mondoberfläche,
v0 die Anfangsgeschwindigkeit,
f die Gravitationskonstante f = 6,672*10^(-11),
m die Masse des Mondes, m=6,21*10^22 (ebenfalls aus einer Teilaufgabe
vorher berechnet)
bedeuten soll.
Nun erhalte ich aus dieser quadratischen Gleichung zwei Lösungen, s1=
725 km und s2=4068 km (Taschenrechnerrundungen).
Was mich dabei wundert, ist, dass der Gegenstand nach s1 immerhin
doppelt so hoch geworfen wird, wenn ich mit nichtkonstantem g rechne als
wenn ich g als konstant annehme.
Potential m g x und m g/x machen schon einen Riesenunterschied, sobald
die Höhe nicht mehr klein gegen den Mondradius ist.
Post by Jessica Peters
Zudem hatte ich auf dem Aufgabenblatt
bei der Besprechung den Wert 448,5km notiert, möglicherweise die
richtige Lösung, die aber wiederum erheblich von beiden Lösungen dieser
quadratischen Gleichung abweicht. Daher wäre ich über eine Überprüfung
dieses Ergebnisses sehr dankbar.
Außerdem bin ich auch erstaunt darüber, dass es zwei Lösungen gibt,
wobei ich die Lösung s2 nicht interpretieren kann. Könnt ihr mir da
weiterhelfen?
Potentielle Energie ~-1/r im Schwerefeld so ausdrücken, dass sich an der
Mondoberfläche bei Radius r=(R+x), x=0 beim Differenzieren nach x bei
Höhe x=0 die Mondbeschleunigung und Potential V=0 ergibt

K(x) = -m g = d/dx m g R^2/(R+x)|_(x=0)

-> V = -m g ( R^2/(R+x) - R)

Energiesatz: m/2 v^2 - m g ( R^2/(R+x) - R) = m/2 v_0^2

Die maximale Höhe x_max erreicht der Massenpunkt bei v=0

x_max= (R v0^2)/(2 g R - v0^2)

sofern v0^2 < 2 g R.

Mit den Werten von Wikipedia für den Mond

R = 1737km , g -> 1.622 m/s^2
ergibt das x_max=374771 m
--
Roland Franzius
Roland Damm
2007-05-20 21:45:37 UTC
Permalink
Moin,
Überprüfung dieses Ergebnisses sehr dankbar. Außerdem bin ich
auch erstaunt darüber, dass es zwei Lösungen gibt, wobei ich
die Lösung s2 nicht interpretieren kann. Könnt ihr mir da
weiterhelfen?
Man könnte den Gegenstand ja nach unten werfen, dann fliegt er
durch den Mond durch und hat im Bahngipfel einen Abstand vom
Werfer von.... Keine Ahnung, ob dein Ansatz sowas hergibt.
aber herausbekam, dass die Sonde auf 7,9 km/s beschleunigt
werden müsste.
Klingt sehr nach der Geschwindigkeit, die die Sonde im Perigäum
hat.
Wäre schön, wenn ihr mir einen Ansatz geben könntet, wie ich
auf die Formel für a) kommen könnte, b) wäre dann quasi
trivial. ;-)
Hier gibt's lesenswertes zu diesem Thema:

http://www.bernd-leitenberger.de/orbits.shtml

und natürlich auch auf anderen Seiten dieses Autors.

CU Rollo

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